定义
广义逆阵(Generalized inverse)也称为伪逆矩阵（pseudoinverse)，是在数学矩阵领域内的名词，一矩阵A的广义逆阵是指另一矩阵具有部分逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性。假设一矩阵${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$及另一矩阵${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$，若${\displaystyle A^{\mathrm {g} } }$满足${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$，则${\displaystyle A^{\mathrm {g} } }$即为${\displaystyle A}$的广义逆阵。
建构广义逆阵的目的是针对可逆矩阵以外的矩阵（例如非方阵的矩阵）可以找到一类矩阵，使它们有一些类似逆矩阵的特性。任意的矩阵都存在广义逆阵，若一矩阵存在逆矩阵，逆矩阵即为其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定义在和结合律乘法有关的数学结构，如半群中。
一组实例
考虑以下的线性方程
其中${\displaystyle A}$为${\displaystyle n\times m}$的矩阵，而${\displaystyle \vec y\in {\mathcal {R}}(A)}$, ${\displaystyle A}$的列空间。
回顾一下我们的线性代数课程。如果矩阵$A$是可逆矩阵那么一切都变得非常轻松愉快：${\displaystyle \vec x=A^{-1} \vec y}$即为方程式的解。
而若矩阵${\displaystyle A}$为可逆矩阵则有
$\displaystyle AA^{-1}A=A$
假设矩阵${\displaystyle A}$不可逆或是${\displaystyle n\neq m}$，需要一个适合的${\displaystyle m\times n}$矩阵${\displaystyle G}$使得下式成立
因此${\displaystyle G \vec y}$为线性系统${\displaystyle A \vec x= \vec y}$的解。 而同样的，${\displaystyle m\times n}$阶的矩阵${\displaystyle G}$也会使下式成立
因此可以用以下的方式定义广义逆阵：假设一个${\displaystyle n\times m}$的矩阵${\displaystyle A}$，${\displaystyle m\times n}$的矩阵${\displaystyle G}$若可以使${\displaystyle AGA=A}$成立，矩阵${\displaystyle G}$即为${\displaystyle A}$的广义逆阵.
构造
一种产生广义逆阵的方式：
若$ {\displaystyle A=BC}$为其秩分解，则$ {\displaystyle G=C_{r}^{-}B_{l}^{-}} $为 ${\displaystyle A}$ 的广义逆阵，其中$ {\displaystyle C_{r}^{-}} $为$ {\displaystyle C} $的右逆矩阵，而$ {\displaystyle B_{l}^{-}}$为$ {\displaystyle B} $的左逆矩阵。
若$ {\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$ ，其中 ${\displaystyle P} $和$ {\displaystyle Q} $为可逆矩阵，则 ${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$ 是$ {\displaystyle A} $的广义逆阵，其中$ {\displaystyle U,V} $及$ {\displaystyle W} $均为任意矩阵。
令 ${\displaystyle A} $为秩为$ {\displaystyle r} $的矩阵，在不失一般性的情形下，令 $\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix} } $，其中 ${\displaystyle B_{r\times r}} $为$ {\displaystyle A}$ 的可逆子矩阵，则 $\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix} }$为$ {\displaystyle A} $的广义逆阵。
种类
用途
- 如果没有用，我们还要它干嘛？
任何一种广义逆阵都可以用来判断线性方程组是否有解，若有解时列出其所有的解。若以下$n \times m$的线性系统有解存在$A \vec x=\vec b$
其中向量 ${\displaystyle \vec x} $为未知数，向量$\vec b$为常数，以下是所有的解
${\displaystyle \vec x=A^{\mathrm {g} } \vec b+[I-A^{\mathrm {g} }A] w}$
其中参数$w$为任意矩阵，而 ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }} $为 ${\displaystyle A} $的任何一个广义逆阵。解存在的条件为当且仅当$ {\displaystyle A^{\mathrm {g} } \vec b} $是其中一个解，也就是当且仅当$ {\displaystyle AA^{\mathrm {g} }\vec b=\vec b}$。
Something more&总结
如果$A$列满秩，列向量线性无关，$r=n，A\vec x=\vec b$为超定方程组，存在$0$或$1$个解，那么$\text{pinv}(A)=(A^TA)^{-1}A^T$，因为$(A^TA)^{-1}A=I$，因此也称为左逆
如果$A$行满秩，行向量线性无关，$A \vec x= \vec b$为欠定方程组，存在$0$个或$\infty$解，那么$\text{pinv}(A)=\text{pinv}(A^T)^T$，因为$AA^T(AA^T)^{-1}=I$，因此也称为右逆
如果秩亏损，那么只好先做奇异值分解$A=UDV^T$,其中$U,V$为正交矩阵，$D$是对角阵
然后取对角阵$S$
如果$D_{i,i}=0$，那么$S_{i,i}=0$
如果$D_{i,i} \not= 0$，那么$S_{i,i}=\dfrac{1}{D_{i,i}}$
于是$\text{pinv}(A)=VSU^T$