Schur不等式的学习感想

什么是Schur不等式？

设$x,y,z\ge 0,r \in \mathbb {R}$，则

$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-y)(z-x)\ge 0$

当$r=1$时，Schur不等式有几种变形：

• $x^3+y^3+z^3 \geq (x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2)-3xyz$
• $(x+y+z)^3 \geq 4(xy+yz+zx)(x+y+z)-9xyz$
• $xyz \geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$

差不多就是这样（个人感觉变形用的炒鸡多…）

下面看唯一一道自己做出来的题：（窝太菜了学了这个不等式之后只会做一道）

例题

08年的中国国家集训队测试题

Problem

设$x,y,z>0$，求证：

$$\displaystyle \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}>2\sqrt[3]{x^3 + y^3 + z^3}$$

解答

设$a=\dfrac{xy}{z},b=\dfrac{yz}{x},c=\dfrac{zx}{y}$

那么就有$x=\sqrt{ca},y=\sqrt{ab},z=\sqrt{bc}$

于是原不等式就可以等价于$(a+b+c)^3>8(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac})$

由Schur不等式，我们知道

$$\begin{align} (a+b+c)^3 &\geq 4(ab+bc+ca)(a+b+c)-9abc \\ & = 4(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3abc \\ & \geq 4(2ab\sqrt{ab}+2bc\sqrt{bc}+2ac\sqrt{ac})+3abc\\ & > 8(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac}) \end{align}$$

从而得证。

下一篇会继续讲另外两道Schur不等式的题目，还是挺有趣的，今天就这样吧）