由一道神奇的题目引发的思考
题目
计算$\displaystyle \sum_\limits{i=1}^\limits{k}i*2^i$
解答
观察恒等式：$\displaystyle \sum_\limits{i=0}^\limits{k} r^i=\dfrac{1-r^{k+1}}{1-r} $
对两边形式地求导，得$\displaystyle\dfrac{\rm d}{ {\rm d} r}\sum_\limits{i=0}^\limits{k} r^i=\sum_\limits{i=0}^\limits{k} i*r^{i-1}=\dfrac{\rm d}{ {\rm d} r}\dfrac{1-r^{k+1}}{1-r}=-(k+1)\dfrac{r^k}{1-r}+\dfrac{1-r^{k+1}}{(1-r)^2}$
两边同时乘$r$，令$r=2$，得
$\displaystyle \sum_{i=0}^{k} i \cdot 2^{i}=-2(k+1)2^k/(-1)+2(1-2^{k+1})/(-1)^2=(k+1)2^{k+1}+2-2 \cdot 2^{k+1} $
化简得$(k-1)2^{k+1}+2$
思考&拓展
第一次推广
推广到$\displaystyle \sum_\limits{i=1}^\limits{k}i*m^i$的形式？
显然，我们只要令上面的$r=m$就可以得到答案为$\displaystyle \dfrac{(k m-k-1) m^{k+1}+m}{(1-m)^2}$
第二次推广
推广到$\displaystyle \sum_\limits{i=1}^\limits{k}i^{p}*m^i$的形式？
考虑勒奇超越函数${\displaystyle \Phi(z,s,a)=\sum _{i=0}^{\infty }{\dfrac {z^{i}}{(a+i)^{s}}}} $
我们发现这个级数的右边好像给我们所求的东西有一些类似，不过…$a$似乎要等于$0$？$s$要等于$-p$？$z$要等于$m$？
后面的都一样了，前面那个和式的上下界挺讨厌的…
于是我们引入另外一个东西…叫做多对数函数，也是一个特殊函数，解析形式为$\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}} $
可以发现…当勒奇函数中$a=1$,则化为多重对数函数了（吃瓜群众：你这引导的顺序有问题啊！）
没办法，我是菜鸡…
好了，我们不妨换个角度：首先幂次变量都是确定的，不需要改变；那么似乎要变的就是$a$？
考虑当$a=k+1$的时候（为什么要考虑$k+1$而不是$k$？因为下界是1不是0）
我们有$\displaystyle \Phi (m,-p,k+1)=\sum _{i=0}^{\infty }{\dfrac {m^{i}}{(k+1+i)^{-p}}}$
也就是$\displaystyle \Phi (m,-p,k+1)=\sum _{i=0}^{\infty }m^{i}(k+1+i)^{p}$
貌似没什么卵用？
但是！我们乘一个$m^{k+1}$的时候，一切都变了！
我们得到了$\displaystyle m^{k+1}\Phi (m,-p,k+1)=\sum _{i=0}^{\infty }m^{k+1+i}(k+1+i)^{p}$
哇！这个结果简直太像了…然而该死的上下标还是不给力啊…
然后，我们用这个神奇的多对数函数去减去我们的结果…这个世道又变了…
Yes！这就是我们想要的答案。